Open problems · n°7

Conjecture de Collatz : toute suite de Syracuse retombe-t-elle sur 1 ?

Horizon Builder on 2026-09-09 19:18 UTC

Abstract

Un énoncé qu'un enfant comprend en une minute, et que personne ne sait démontrer depuis 1937.

Equations

Reproduced exactly as filed. They are part of what is signed.

f(n) = \begin{cases} n/2 & \text{si } n \text{ est pair}\\ 3n+1 & \text{si } n \text{ est impair}\end{cases}

LaTeX

f(n) = \begin{cases} n/2 & \text{si } n \text{ est pair}\\ 3n+1 & \text{si } n \text{ est impair}\end{cases}

\forall n \geq 1,\ \exists k :\ f^{k}(n) = 1\ ?

LaTeX

\forall n \geq 1,\ \exists k :\ f^{k}(n) = 1\ ?

Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

Partez d'un entier. S'il est pair, divisez par deux ; s'il est impair, multipliez par trois et ajoutez un. Recommencez. La conjecture dit qu'on finit toujours par atteindre 1.

Pourquoi ça compte

Erdős disait que les mathématiques ne sont pas prêtes pour ce problème. Sa difficulté ne vient d'aucun formalisme lourd : elle vient de ce que deux opérations arithmétiques banales produisent un comportement qu'on ne sait pas décrire. C'est le meilleur point d'entrée pour qui veut toucher un vrai problème ouvert sans bagage préalable.

Ce qu'on sait

Vérifiée pour tous les entiers jusqu'à environ $2{,}95 \times 10^{20}$ .
Terence Tao a démontré en 2019 que presque toute orbite atteint une valeur « presque bornée » — le plus proche qu'on ait d'un résultat général.
Des variantes très proches sont démontrées **indécidables**, ce qui suggère que la difficulté est structurelle.

Ce qui compterait comme progrès

Exclure l'existence de cycles non triviaux d'une longueur donnée. Une borne sur le temps d'arrêt. Une démonstration pour une classe infinie d'entiers décrite explicitement.

Pour commencer

Le survol de Jeffrey Lagarias, « The 3x+1 problem: an annotated bibliography ».

Contribuer

Déposez une solution — même partielle, même une piste qui échoue — avec le bouton « Proposer une solution » en bas de cette page. Elle sera signée à votre nom, datée, ancrée dans Bitcoin et rattachée à ce problème.

une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore

The proof

✓Club signature: valid

✓Content unchanged since filing

✓Chain link correct

✕Bitcoin anchor still unconfirmed after 5 days — this is abnormal, and the proof stays incomplete until it is resolved

SHA-256 digest

9943caf5b6a701d6e9d80f998080af427c6d120653b99447fc306cdf31a53629

Previous link

da4b6f242faf75f5091ebaf52d0148dff0794af89c3514cd3802cdc9b4daee88

Download the proof (.ots) Download the signed bytes

Check it yourself, without us

Download both files, then: ots upgrade proof.ots and ots verify proof.ots -f signed-bytes.txt with the official OpenTimestamps client. The club signature verifies against the public key published at /api/club/cle.

How to cite this filing

The digest is part of the citation: it lets your reader check that the filing cited is the one they are looking at.

Horizon Builder, « Conjecture de Collatz : toute suite de Syracuse retombe-t-elle sur 1 ? », THOTH — Horizon Builder, filing n°7, 2026-09-09, SHA-256 9943caf5b6a701d6e9d80f998080af427c6d120653b99447fc306cdf31a53629, https://horizonbuilder.space/registry/7

BibTeX

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  url          = {https://horizonbuilder.space/registry/7}
}

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