Birch et Swinnerton-Dyer : le rang d'une courbe elliptique se lit-il dans sa fonction L ?
Abstract
Une conjecture née de l'ordinateur, qui relie le nombre de solutions rationnelles d'une équation à un objet analytique.
Equations
Reproduced exactly as filed. They are part of what is signed.
LaTeX
E:\ y^{2} = x^{3} + ax + bLaTeX
\operatorname{ord}_{s=1} L(E,s) \;\overset{?}{=}\; \operatorname{rang} E(\mathbb{Q})Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.
L'énoncé
Pour une courbe elliptique définie sur les rationnels, l'ordre d'annulation de sa fonction L en s = 1 est-il égal au rang du groupe de ses points rationnels ?
Pourquoi ça compte
Trouver les solutions rationnelles d'une équation cubique est un problème vieux de deux mille ans. La conjecture dit qu'on peut lire leur nombre — leur **rang** — dans le comportement d'une fonction analytique. C'est aussi la clé du problème des nombres congruents, posé au Xᵉ siècle et toujours ouvert.
Ce qu'on sait
- Démontrée par Coates-Wiles, Gross-Zagier et Kolyvagin pour les rangs 0 et 1.
- Bhargava et ses coauteurs ont montré qu'elle est vraie pour une proportion positive de courbes elliptiques — au moins 66 %.
- Aucun cas de rang supérieur ou égal à 2 n'est démontré.
Ce qui compterait comme progrès
Un seul cas démontré en rang 2. Une borne effective sur le groupe de Tate-Shafarevich.
Pour commencer
Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/
Contribuer
Déposez une solution — même partielle, même une piste qui échoue — avec le bouton « Proposer une solution » en bas de cette page. Elle sera signée à votre nom, datée, ancrée dans Bitcoin et rattachée à ce problème.
- une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
- un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
- une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore
The proof
✓Club signature: valid
✓Content unchanged since filing
✓Chain link correct
✕Bitcoin anchor still unconfirmed after 5 days — this is abnormal, and the proof stays incomplete until it is resolved
ed2d118a0329f792b6e61811f10d122f2e67d4bff8db29967347e8a41e23333f
29caf013f2b8a3b1991263296f6f1aa6e6bfdf1b23b3faec54ba7bac6474125f
Download the proof (.ots) Download the signed bytes
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How to cite this filing
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Horizon Builder, « Birch et Swinnerton-Dyer : le rang d'une courbe elliptique se lit-il dans sa fonction L ? », THOTH — Horizon Builder, filing n°5, 2026-09-09, SHA-256 ed2d118a0329f792b6e61811f10d122f2e67d4bff8db29967347e8a41e23333f, https://horizonbuilder.space/registry/5BibTeX
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