Conjecture de Hodge : quelles classes de cohomologie viennent de la géométrie ?
Abstract
Un pont conjecturé entre l'algèbre, l'analyse et la géométrie, sur les variétés projectives complexes.
Equations
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LaTeX
H^{k,k}(X) \cap H^{2k}(X,\mathbb{Q}) \;\overset{?}{=}\; \text{classes algébriques}Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.
L'énoncé
Sur une variété projective complexe non singulière, toute classe de Hodge rationnelle est-elle une combinaison rationnelle de classes de sous-variétés algébriques ?
Pourquoi ça compte
C'est la question de savoir si un objet défini analytiquement — par de la cohomologie — est toujours **construit géométriquement**. Elle relie trois langages que les mathématiciens du XXᵉ siècle ont passé cinquante ans à raccorder.
Ce qu'on sait
- Vraie pour k = 1 : c'est le théorème de Lefschetz sur les classes (1,1).
- Vraie pour les variétés abéliennes en petite dimension, pour de nombreuses familles.
- La version entière de la conjecture est FAUSSE : Atiyah et Hirzebruch l'ont réfutée en 1961. Seule la version rationnelle tient encore.
Ce qui compterait comme progrès
Une nouvelle famille de variétés où la conjecture est démontrée. Une avancée sur les conjectures standard de Grothendieck, dont elle dépend étroitement.
Pour commencer
Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/
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- une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
- un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
- une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore
The proof
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Horizon Builder, « Conjecture de Hodge : quelles classes de cohomologie viennent de la géométrie ? », THOTH — Horizon Builder, filing n°4, 2026-09-09, SHA-256 29caf013f2b8a3b1991263296f6f1aa6e6bfdf1b23b3faec54ba7bac6474125f, https://horizonbuilder.space/registry/4BibTeX
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