Open problems · n°3

Navier-Stokes : les équations des fluides ont-elles toujours une solution régulière ?

Horizon Builder on 2026-09-09 19:18 UTC

Abstract

On sait décrire l'écoulement d'un fluide. On ne sait pas démontrer que la description ne devient jamais absurde.

Equations

Reproduced exactly as filed. They are part of what is signed.

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}

LaTeX

\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

LaTeX

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0

Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Question : partant d'une condition initiale lisse en dimension 3, existe-t-il toujours une solution lisse définie pour **tout** temps — ou la vitesse peut-elle devenir infinie en temps fini ?

Pourquoi ça compte

Ces équations servent tous les jours : météo, aéronautique, circulation sanguine, climat. On les résout numériquement sans savoir si ce qu'on approche existe. Une singularité en temps fini signifierait que le modèle cesse d'être valide au moment précis où on en aurait le plus besoin — dans la turbulence.

Ce qu'on sait

En dimension 2, l'existence et la régularité globales sont démontrées.
En dimension 3, Leray a construit dès 1934 des solutions faibles globales — mais leur unicité et leur régularité restent ouvertes.
Des solutions régulières existent sur un intervalle de temps court, ou pour des données initiales petites.
Tao a montré en 2016 qu'une variante moyennée des équations, elle, explose en temps fini : la difficulté n'est donc pas seulement technique.

Ce qui compterait comme progrès

Un critère de régularité plus faible que ceux de Prodi-Serrin. Une construction de singularité, même pour une équation voisine. Un résultat d'unicité des solutions faibles.

Pour commencer

Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/

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une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
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The proof

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How to cite this filing

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Horizon Builder, « Navier-Stokes : les équations des fluides ont-elles toujours une solution régulière ? », THOTH — Horizon Builder, filing n°3, 2026-09-09, SHA-256 256c8babd6630357b75c550af65645e223dd568a9fa971ed5da14e0fd1799280, https://horizonbuilder.space/registry/3

BibTeX

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