Existe-t-il un nombre parfait impair ?

Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

Un nombre est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres. 6 et 28 le sont. Tous les nombres parfaits connus sont pairs. En existe-t-il un impair ?

Pourquoi ça compte

C'est vraisemblablement **le plus ancien problème ouvert des mathématiques**. Euclide connaissait la forme des parfaits pairs ; Euler a démontré qu'il n'y en a pas d'autres. La question impaire, elle, n'a pas bougé en vingt-trois siècles — et elle est liée aux premiers de Mersenne, donc aux plus grands nombres premiers connus.

Ce qu'on sait — et c'est beaucoup, pour un objet qui n'existe peut-être pas

S'il existe un nombre parfait impair $N$, alors :

• $N > 10^{1500}$ ;
• $N$ a au moins 101 facteurs premiers comptés avec multiplicité, et au moins 10 facteurs premiers distincts ;
• $N \equiv 1 \pmod{12}$ ou $N \equiv 117 \pmod{468}$ ou $N \equiv 81 \pmod{324}$ ;
• son plus grand facteur premier dépasse $10^{8}$ ;
• il s'écrit $N = q^{\alpha} m^{2}$ avec $q$ premier, $q \equiv \alpha \equiv 1 \pmod 4$ (forme d'Euler).

Ce qui compterait comme progrès

Repousser l'une de ces bornes. Ou, dans l'autre sens, une démonstration d'inexistence — ce que la plupart des spécialistes tiennent pour vrai sans savoir le montrer.

Pour commencer

Le survol de Pace Nielsen sur les bornes des nombres parfaits impairs.

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