Open problems · n°1

Hypothèse de Riemann : les zéros non triviaux sont-ils tous sur la droite critique ?

Horizon Builder on 2026-09-09 19:18 UTC

Abstract

Le plus célèbre problème ouvert des mathématiques. Il commande la répartition des nombres premiers, et des milliers de résultats en dépendent.

Equations

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\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}

LaTeX

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}

\zeta(s) = 0 \ \text{ et } \ 0 < \Re(s) < 1 \ \Longrightarrow\ \Re(s) = \tfrac{1}{2}\ ?

LaTeX

\zeta(s) = 0 \ \text{ et } \ 0 < \Re(s) < 1 \ \Longrightarrow\ \Re(s) = \tfrac{1}{2}\ ?

Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

La fonction zêta de Riemann s'annule aux entiers pairs négatifs — ce sont les zéros « triviaux ». Tous les autres, dit l'hypothèse, ont pour partie réelle exactement 1/2.

Pourquoi ça compte

La répartition des nombres premiers est directement liée à la position de ces zéros. L'hypothèse équivaut à dire que les premiers sont distribués aussi régulièrement que possible : l'écart entre leur compte réel et son estimation logarithmique resterait borné par $\sqrt{x}\log x$ . Des milliers de théorèmes sont publiés sous la forme « si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors… ». Une démonstration les libère d'un coup ; un contre-exemple en effondre autant.

Ce qu'on sait

Hardy a montré en 1914 qu'une infinité de zéros sont sur la droite critique.
On sait qu'au moins 41 % d'entre eux y sont.
Plus de dix mille milliards de zéros ont été vérifiés numériquement : tous sur la droite.
Le théorème des nombres premiers, lui, est démontré — il correspond à savoir qu'aucun zéro n'est sur la droite $\Re(s)=1$ .

Ce qui compterait comme progrès

Élargir la proportion de zéros démontrés sur la droite. Une région sans zéro plus large que celles connues. Une reformulation équivalente qui ouvre une autre porte — il en existe déjà des dizaines, dont le critère de Li et celui de Nyman-Beurling.

Pour commencer

L'énoncé officiel du Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/

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Horizon Builder, « Hypothèse de Riemann : les zéros non triviaux sont-ils tous sur la droite critique ? », THOTH — Horizon Builder, filing n°1, 2026-09-09, SHA-256 0ef77feee55d84532f6843fb1d6987fc55e7c413b150b58c425899ecb5d5c7ca, https://horizonbuilder.space/registry/1

BibTeX

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