Birch et Swinnerton-Dyer : le rang d'une courbe elliptique se lit-il dans sa fonction L ?
Résumé
Une conjecture née de l'ordinateur, qui relie le nombre de solutions rationnelles d'une équation à un objet analytique.
Équations
Reproduites exactement comme déposées. Elles font partie de ce qui est signé.
LaTeX
E:\ y^{2} = x^{3} + ax + bLaTeX
\operatorname{ord}_{s=1} L(E,s) \;\overset{?}{=}\; \operatorname{rang} E(\mathbb{Q})Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.
L'énoncé
Pour une courbe elliptique définie sur les rationnels, l'ordre d'annulation de sa fonction L en s = 1 est-il égal au rang du groupe de ses points rationnels ?
Pourquoi ça compte
Trouver les solutions rationnelles d'une équation cubique est un problème vieux de deux mille ans. La conjecture dit qu'on peut lire leur nombre — leur **rang** — dans le comportement d'une fonction analytique. C'est aussi la clé du problème des nombres congruents, posé au Xᵉ siècle et toujours ouvert.
Ce qu'on sait
- Démontrée par Coates-Wiles, Gross-Zagier et Kolyvagin pour les rangs 0 et 1.
- Bhargava et ses coauteurs ont montré qu'elle est vraie pour une proportion positive de courbes elliptiques — au moins 66 %.
- Aucun cas de rang supérieur ou égal à 2 n'est démontré.
Ce qui compterait comme progrès
Un seul cas démontré en rang 2. Une borne effective sur le groupe de Tate-Shafarevich.
Pour commencer
Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/
Contribuer
Déposez une solution — même partielle, même une piste qui échoue — avec le bouton « Proposer une solution » en bas de cette page. Elle sera signée à votre nom, datée, ancrée dans Bitcoin et rattachée à ce problème.
- une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
- un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
- une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore
La preuve
✓Signature du club : valide
✓Contenu inchangé depuis le dépôt
✓Maillon de chaîne correct
✕Ancrage Bitcoin toujours pas confirmé après 5 jours — c'est anormal, et la preuve reste incomplète tant que ce n'est pas résolu
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29caf013f2b8a3b1991263296f6f1aa6e6bfdf1b23b3faec54ba7bac6474125f
Télécharger la preuve (.ots) Télécharger les octets signés
Vérifier vous-même, sans nous
Téléchargez les deux fichiers, puis : ots upgrade preuve.ots et ots verify preuve.ots -f octets-signes.txt avec le client officiel OpenTimestamps. La signature du club se vérifie avec la clé publique publiée sur /api/club/cle.
Comment citer ce dépôt
L'empreinte fait partie de la citation : elle permet à qui vous lit de vérifier que le dépôt cité est bien celui qu'il consulte.
Licence : Tous droits réservés — aucune réutilisation sans l'accord de l'auteur
Horizon Builder, « Birch et Swinnerton-Dyer : le rang d'une courbe elliptique se lit-il dans sa fonction L ? », THOTH — Horizon Builder, dépôt n°5, 2026-09-09, SHA-256 ed2d118a0329f792b6e61811f10d122f2e67d4bff8db29967347e8a41e23333f, https://horizonbuilder.space/registre/5BibTeX
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}Vous avez une piste ?
Déposez votre solution, même partielle : elle sera signée à votre nom, datée, et rattachée à ce problème. Une piste qui ne marche pas mais qu'on peut lire vaut mieux qu'une idée que personne ne verra jamais.
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