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Problèmes ouverts · n°3

Navier-Stokes : les équations des fluides ont-elles toujours une solution régulière ?

Horizon Builder le 09/09/2026 à 19h18 UTC

Résumé

On sait décrire l'écoulement d'un fluide. On ne sait pas démontrer que la description ne devient jamais absurde.

Équations

Reproduites exactement comme déposées. Elles font partie de ce qui est signé.

∂u∂t+(u⋅∇)u=−1ρ∇p+ν Δu+f\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}
LaTeX
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\,\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}
∇⋅u=0\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
LaTeX
\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

Les équations de Navier-Stokes décrivent le mouvement d'un fluide visqueux incompressible. Question : partant d'une condition initiale lisse en dimension 3, existe-t-il toujours une solution lisse définie pour **tout** temps — ou la vitesse peut-elle devenir infinie en temps fini ?

Pourquoi ça compte

Ces équations servent tous les jours : météo, aéronautique, circulation sanguine, climat. On les résout numériquement sans savoir si ce qu'on approche existe. Une singularité en temps fini signifierait que le modèle cesse d'être valide au moment précis où on en aurait le plus besoin — dans la turbulence.

Ce qu'on sait

  • En dimension 2, l'existence et la régularité globales sont démontrées.
  • En dimension 3, Leray a construit dès 1934 des solutions faibles globales — mais leur unicité et leur régularité restent ouvertes.
  • Des solutions régulières existent sur un intervalle de temps court, ou pour des données initiales petites.
  • Tao a montré en 2016 qu'une variante moyennée des équations, elle, explose en temps fini : la difficulté n'est donc pas seulement technique.

Ce qui compterait comme progrès

Un critère de régularité plus faible que ceux de Prodi-Serrin. Une construction de singularité, même pour une équation voisine. Un résultat d'unicité des solutions faibles.

Pour commencer

Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/

Contribuer

Déposez une solution — même partielle, même une piste qui échoue — avec le bouton « Proposer une solution » en bas de cette page. Elle sera signée à votre nom, datée, ancrée dans Bitcoin et rattachée à ce problème.

  • une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
  • un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
  • une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore

La preuve

✓Signature du club : valide

✓Contenu inchangé depuis le dépôt

✓Maillon de chaîne correct

✕Ancrage Bitcoin toujours pas confirmé après 5 jours — c'est anormal, et la preuve reste incomplète tant que ce n'est pas résolu

Empreinte SHA-256

256c8babd6630357b75c550af65645e223dd568a9fa971ed5da14e0fd1799280

Maillon précédent

6122732520e0983d9670702b85391bd7d4fd80d15a0d8cf88c1988433704c029

Télécharger la preuve (.ots) Télécharger les octets signés

Vérifier vous-même, sans nous

Téléchargez les deux fichiers, puis : ots upgrade preuve.ots et ots verify preuve.ots -f octets-signes.txt avec le client officiel OpenTimestamps. La signature du club se vérifie avec la clé publique publiée sur /api/club/cle.

Comment citer ce dépôt

L'empreinte fait partie de la citation : elle permet à qui vous lit de vérifier que le dépôt cité est bien celui qu'il consulte.

Licence : Tous droits réservés — aucune réutilisation sans l'accord de l'auteur

Horizon Builder, « Navier-Stokes : les équations des fluides ont-elles toujours une solution régulière ? », THOTH — Horizon Builder, dépôt n°3, 2026-09-09, SHA-256 256c8babd6630357b75c550af65645e223dd568a9fa971ed5da14e0fd1799280, https://horizonbuilder.space/registre/3
BibTeX 
@misc{thoth3,
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}

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