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Problèmes ouverts · n°1

Hypothèse de Riemann : les zéros non triviaux sont-ils tous sur la droite critique ?

Horizon Builder le 09/09/2026 à 19h18 UTC

Résumé

Le plus célèbre problème ouvert des mathématiques. Il commande la répartition des nombres premiers, et des milliers de résultats en dépendent.

Équations

Reproduites exactement comme déposées. Elles font partie de ce qui est signé.

ζ(s)=∑n=1∞1ns=∏p premier11−p−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}
LaTeX
\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}} = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1 - p^{-s}}
ζ(s)=0  et  0<ℜ(s)<1 ⟹ ℜ(s)=12 ?\zeta(s) = 0 \ \text{ et } \ 0 < \Re(s) < 1 \ \Longrightarrow\ \Re(s) = \tfrac{1}{2}\ ?
LaTeX
\zeta(s) = 0 \ \text{ et } \ 0 < \Re(s) < 1 \ \Longrightarrow\ \Re(s) = \tfrac{1}{2}\ ?
Ce problème n'est pas de nous. Horizon Builder le pose ici pour qu'on y travaille, avec une date et une signature — pour que celui ou celle qui y apportera quelque chose puisse le prouver.

L'énoncé

La fonction zêta de Riemann s'annule aux entiers pairs négatifs — ce sont les zéros « triviaux ». Tous les autres, dit l'hypothèse, ont pour partie réelle exactement 1/2.

Pourquoi ça compte

La répartition des nombres premiers est directement liée à la position de ces zéros. L'hypothèse équivaut à dire que les premiers sont distribués aussi régulièrement que possible : l'écart entre leur compte réel et son estimation logarithmique resterait borné par xlog⁡x\sqrt{x}\log x. Des milliers de théorèmes sont publiés sous la forme « si l'hypothèse de Riemann est vraie, alors… ». Une démonstration les libère d'un coup ; un contre-exemple en effondre autant.

Ce qu'on sait

  • Hardy a montré en 1914 qu'une infinité de zéros sont sur la droite critique.
  • On sait qu'au moins 41 % d'entre eux y sont.
  • Plus de dix mille milliards de zéros ont été vérifiés numériquement : tous sur la droite.
  • Le théorème des nombres premiers, lui, est démontré — il correspond à savoir qu'aucun zéro n'est sur la droite ℜ(s)=1\Re(s)=1.

Ce qui compterait comme progrès

Élargir la proportion de zéros démontrés sur la droite. Une région sans zéro plus large que celles connues. Une reformulation équivalente qui ouvre une autre porte — il en existe déjà des dizaines, dont le critère de Li et celui de Nyman-Beurling.

Pour commencer

L'énoncé officiel du Clay Mathematics Institute : https://www.claymath.org/millennium-problems/

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  • une réduction, un cas particulier, une borne : ça compte
  • un contre-exemple à une approche courante : ça compte aussi
  • une objection argumentée à une solution déposée : ça compte encore

La preuve

✓Signature du club : valide

✓Contenu inchangé depuis le dépôt

✓Maillon de chaîne correct

✕Ancrage Bitcoin toujours pas confirmé après 5 jours — c'est anormal, et la preuve reste incomplète tant que ce n'est pas résolu

Empreinte SHA-256

0ef77feee55d84532f6843fb1d6987fc55e7c413b150b58c425899ecb5d5c7ca

Maillon précédent

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Télécharger la preuve (.ots) Télécharger les octets signés

Vérifier vous-même, sans nous

Téléchargez les deux fichiers, puis : ots upgrade preuve.ots et ots verify preuve.ots -f octets-signes.txt avec le client officiel OpenTimestamps. La signature du club se vérifie avec la clé publique publiée sur /api/club/cle.

Comment citer ce dépôt

L'empreinte fait partie de la citation : elle permet à qui vous lit de vérifier que le dépôt cité est bien celui qu'il consulte.

Licence : Tous droits réservés — aucune réutilisation sans l'accord de l'auteur

Horizon Builder, « Hypothèse de Riemann : les zéros non triviaux sont-ils tous sur la droite critique ? », THOTH — Horizon Builder, dépôt n°1, 2026-09-09, SHA-256 0ef77feee55d84532f6843fb1d6987fc55e7c413b150b58c425899ecb5d5c7ca, https://horizonbuilder.space/registre/1
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